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Probabilidad de una recta pequeña en Yahtzee en un solo rollo

Probabilidad de una recta pequeña en Yahtzee en un solo rollo


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Yahtzee es un juego de dados que usa cinco dados estándar de seis lados. En cada turno, los jugadores reciben tres tiradas para obtener varios objetivos diferentes. Después de cada lanzamiento, un jugador puede decidir cuál de los dados (si corresponde) se debe retener y cuáles se deben volver a tirar. Los objetivos incluyen una variedad de diferentes tipos de combinaciones, muchas de las cuales se toman del póker. Cada tipo diferente de combinación vale una cantidad diferente de puntos.

Dos de los tipos de combinaciones que los jugadores deben tirar se llaman rectas: una recta pequeña y una recta grande. Al igual que las rectas de póker, estas combinaciones consisten en dados secuenciales. Las rectas pequeñas emplean cuatro de los cinco dados y las rectas grandes usan los cinco dados. Debido a la aleatoriedad del lanzamiento de dados, la probabilidad se puede usar para analizar la probabilidad de lanzar una pequeña escalera en un solo lanzamiento.

Supuestos

Suponemos que los dados utilizados son justos e independientes entre sí. Por lo tanto, hay un espacio de muestra uniforme que consiste en todas las tiradas posibles de los cinco dados. Aunque Yahtzee permite tres rollos, por simplicidad solo consideraremos el caso de que obtengamos una pequeña escalera en un solo rollo.

Espacio muestral

Como estamos trabajando con un espacio muestral uniforme, el cálculo de nuestra probabilidad se convierte en el cálculo de un par de problemas de conteo. La probabilidad de una recta pequeña es la cantidad de formas de tirar una recta pequeña, dividida por la cantidad de resultados en el espacio muestral.

Es muy fácil contar el número de resultados en el espacio muestral. Estamos lanzando cinco dados y cada uno de estos dados puede tener uno de seis resultados diferentes. Una aplicación básica del principio de multiplicación nos dice que el espacio muestral tiene 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 = 7776 resultados. Este número será el denominador de las fracciones que usamos para nuestra probabilidad.

Numero de rectas

A continuación, necesitamos saber cuántas formas hay de rodar una recta pequeña. Esto es más difícil que calcular el tamaño del espacio muestral. Comenzamos contando cuántas rectas son posibles.

Una recta pequeña es más fácil de rodar que una recta grande, sin embargo, es más difícil contar la cantidad de formas de enrollar este tipo de recta. Una recta pequeña consiste exactamente en cuatro números secuenciales. Como hay seis caras diferentes del dado, hay tres rectas pequeñas posibles: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} y {3, 4, 5, 6}. La dificultad surge al considerar lo que sucede con el quinto dado. En cada uno de estos casos, el quinto dado debe ser un número que no cree una recta grande. Por ejemplo, si los primeros cuatro dados fueran 1, 2, 3 y 4, el quinto dado podría ser otra cosa que 5. Si el quinto dado fuera un 5, entonces tendríamos una recta grande en lugar de una recta pequeña.

Esto significa que hay cinco posibles tiradas que dan la recta pequeña {1, 2, 3, 4}, cinco tiradas posibles que dan la recta pequeña {3, 4, 5, 6} y cuatro tiradas posibles que dan la recta pequeña { 2, 3, 4, 5}. Este último caso es diferente porque sacar un 1 o un 6 para el quinto dado cambiará {2, 3, 4, 5} en una recta grande. Esto significa que hay 14 formas diferentes en que cinco dados pueden darnos una pequeña escalera.

Ahora determinamos el número diferente de formas de tirar un conjunto particular de dados que nos dan una escalera. Como solo necesitamos saber cuántas maneras hay de hacer esto, podemos usar algunas técnicas básicas de conteo.

De las 14 formas distintas de obtener rectas pequeñas, solo dos de estas {1,2,3,4,6} y {1,3,4,5,6} son conjuntos con elementos distintos. Hay 5! = ¡120 formas de rodar cada una para un total de 2 x 5! = 240 rectas pequeñas.

Las otras 12 formas de tener una recta pequeña son técnicamente multisets, ya que todas contienen un elemento repetido. Para un multiset en particular, como 1,1,2,3,4, contaremos el número de diferentes formas de obtenerlo. Piense en los dados como cinco posiciones seguidas:

  • Hay C (5,2) = 10 formas de colocar los dos elementos repetidos entre los cinco dados.
  • ¡Hay 3! = 6 formas de organizar los tres elementos distintos.

Por el principio de multiplicación, hay 6 x 10 = 60 formas diferentes de tirar los dados 1,1,2,3,4 en una sola tirada.

Hay 60 formas de tirar una escalera tan pequeña con este quinto dado en particular. Como hay 12 conjuntos múltiples que dan una lista diferente de cinco dados, hay 60 x 12 = 720 formas de tirar una pequeña escalera en la que coinciden dos dados.

En total hay 2 x 5! + 12 x 60 = 960 formas de rodar una recta pequeña.

Probabilidad

Ahora la probabilidad de rodar una recta pequeña es un simple cálculo de división. Como hay 960 formas diferentes de tirar una escalera pequeña en una sola tirada y hay 7776 tiradas de cinco dados posibles, la probabilidad de tirar una escalera pequeña es 960/7776, que está cerca de 1/8 y 12.3%.

Por supuesto, es más probable que el primer lanzamiento no sea una escalera. Si este es el caso, entonces se nos permiten dos rollos más, lo que hace que una recta pequeña sea mucho más probable. La probabilidad de esto es mucho más complicada de determinar debido a todas las situaciones posibles que deberían considerarse.


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